De eerste opgave van de International Mathematical Olympiad 2008 en een uitwerking met carthesische coördinaten.
Er is ook een PDF-versie.
Zij gegeven een scherphoekige driehoek \(ABC\) met hoogtepunt \(H\). De cirkel door \(H\) met middelpunt het midden van de zijde \(BC\) snijdt de lijn (rechte) \(BC\) in \(A_1\) en \(A_2\) De cirkel door \(H\) met middelpunt het midden van de zijde \(CA\) snijdt de lijn \(CA\) in \(B_1\) en \(B_2\) en de cirkel door \(H\) met middelpunt het midden van de zijde \(AB\) snijdt de lijn \(AB\) in \(C_1\) en \(C_2\). Bewijs dat \(A_1\), \(A_2\), \(B_1\), \(B_2\), \(C_1\) en \(C_2\) op één cirkel liggen.
Het midden van \(AB\) noem ik \(M\), de oorsprong \(O\) en in plaats van \(C_1\) schrijf ik \(P\). De coördinaten geef ik aan met kleine letters. Ik bewijs dat de afstand \(PO\) niet verandert als je \(A\), \(B\) en \(C\) verwisselt.
Leg de punten \(A\), \(B\) en \(C\) zó in een assenstelsel, dat \(|a|=|b|=|c|=r\). Dan is \(h=a+b+c\). Omdat \(p\) en \(h\) op dezelfde cirkel om \(m\) liggen, is \(|p-m|=|h-m|\). Omdat \(|a|=|b|\) ligt de oorsprong op de middelloodlijn van \(AB\), dus is \(\angle PMO=\angle AMO=90^\circ\). Dan volgt uit de stelling van Pythagoras:
\(|p|^2=|p-m|^2+|m|^2\)
\(|p|^2=|h-m|^2+|m|^2\)
\(|p|^2=|a+b+c-\textstyle\frac{a+b}2|^2+|\textstyle\frac{a+b}2|^2\)
\(4|p|^2=|a+b+2c|^2+|a+b|^2\)
\(4|p|^2=(a_x+b_x+2c_x)^2+(a_y+b_y+2c_y)^2+(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2\)
\(4|p|^2=a_x^2+b_x^2+4c_x^2+2a_xb_x+4b_xc_x+4c_xa_x+a_y^2+b_y^2+4c_y^2+2a_yb_y+4b_yc_y+4c_ya_y+a_x^2+b_x^2+2a_xb_x+a_y^2+b_y^2+2a_yb_y\)
\(4|p|^2=2(a_x^2+a_y^2)+2(b_x^2+b_y^2)+4(c_x^2+c_y^2)+4(a_xb_x+b_xc_x+c_xa_x)+4(a_yb_y+b_yc_y+c_ya_y)\)
\(4|p|^2=8r+4(a_xb_x+b_xc_x+c_xa_x)+4(a_yb_y+b_yc_y+c_ya_y)\)
Deze laatste uitdrukking is symmetrisch in \(a\), \(b\) en \(c\) en verandert dus niet als je \(A\), \(B\) en \(C\) van plek verwisselt. De zes mogelijke plaatsen voor \(P\) (namelijk \(A_1\), \(A_2\), \(B_1\), \(B_2\), \(C_1\) en \(C_2\)) hebben daarom dezelfde afstand tot de oorsprong, en liggen dus op één cirkel. \(\Box\)