De eerste opgave van de International Mathematical Olympiad 2008 en een uitwerking met carthesische coördinaten.
Er is ook een PDF-versie.
Zij gegeven een scherphoekige driehoek $ABC$ met hoogtepunt $H$. De cirkel door $H$ met middelpunt het midden van de zijde $BC$ snijdt de lijn (rechte) $BC$ in $A_1$ en $A_2$ De cirkel door $H$ met middelpunt het midden van de zijde $CA$ snijdt de lijn $CA$ in $B_1$ en $B_2$ en de cirkel door $H$ met middelpunt het midden van de zijde $AB$ snijdt de lijn $AB$ in $C_1$ en $C_2$. Bewijs dat $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$ en $C_2$ op één cirkel liggen.
Het midden van $AB$ noem ik $M$, de oorsprong $O$ en in plaats van $C_1$ schrijf ik $P$. De coördinaten geef ik aan met kleine letters. Ik bewijs dat de afstand $PO$ niet verandert als je $A$, $B$ en $C$ verwisselt.
Leg de punten $A$, $B$ en $C$ zó in een assenstelsel, dat $|a|=|b|=|c|=r$. Dan is $h=a+b+c$. Omdat $p$ en $h$ op dezelfde cirkel om $m$ liggen, is $|p-m|=|h-m|$. Omdat $|a|=|b|$ ligt de oorsprong op de middelloodlijn van $AB$, dus is $\angle PMO=\angle AMO=90^\circ$. Dan volgt uit de stelling van Pythagoras:
$|p|^2=|p-m|^2+|m|^2$
$|p|^2=|h-m|^2+|m|^2$
$|p|^2=|a+b+c-\textstyle\frac{a+b}2|^2+|\textstyle\frac{a+b}2|^2$
$4|p|^2=|a+b+2c|^2+|a+b|^2$
$4|p|^2=(a_x+b_x+2c_x)^2+(a_y+b_y+2c_y)^2+(a_x+b_x)^2+(a_y+b_y)^2$
$4|p|^2=a_x^2+b_x^2+4c_x^2+2a_xb_x+4b_xc_x+4c_xa_x+a_y^2+b_y^2+4c_y^2+2a_yb_y+4b_yc_y+4c_ya_y+a_x^2+b_x^2+2a_xb_x+a_y^2+b_y^2+2a_yb_y$
$4|p|^2=2(a_x^2+a_y^2)+2(b_x^2+b_y^2)+4(c_x^2+c_y^2)+4(a_xb_x+b_xc_x+c_xa_x)+4(a_yb_y+b_yc_y+c_ya_y)$
$4|p|^2=8r+4(a_xb_x+b_xc_x+c_xa_x)+4(a_yb_y+b_yc_y+c_ya_y)$
Deze laatste uitdrukking is symmetrisch in $a$, $b$ en $c$ en verandert dus niet als je $A$, $B$ en $C$ van plek verwisselt. De zes mogelijke plaatsen voor $P$ (namelijk $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$, $C_1$ en $C_2$) hebben daarom dezelfde afstand tot de oorsprong, en liggen dus op één cirkel. $\Box$