Convergente rij

Stel, je hebt een getal q met |q|<1. Dan convergeert

\(S = 1 + q + q^2 + q^3 + q^4\dots\).

Door elke term met q te vermenigvuldigen, krijg je

\(qS = q + q^2 + q^3 + q^4\dots\).

Als je die twee rijen van elkaar af trekt, vallen alle termen waar q in voorkomt tegen elkaar weg.:

\(S-qS=\lim_{n\to\infty}\left(1-q^n\right)=1\).

Dit is te herschrijven als

\(S(1-q)=1\).

De uitkomst S van de convergerende rij is dus

\(S=\frac{1}{1-q}=1+q+q^2+q^3+q^4\dots\)