Als p en q positieve reële getallen zijn met $\frac1p+\frac1q=1$ en $x_i$ en $y_i$ rijtjes niet-negatieve reële getallen zijn geldt de ongelijkheid van Hölder, die zegt:
$\sum_ix_iy_i\leq\left(\sum_i {x_i}^p\right)^\frac1p\cdot\left(\sum_i {y_i}^q\right)^\frac1q$.
Dit bewijs dat maakt gebruik van de (gewogen) ongelijkheid van het meetkundig-rekenkundig gemiddelde, die zegt dat als voor $a,b>0$ geldt $a+b=1$ en als $x,y\geq 0$, dat
$x^ay^b\leq ax+by$.
Definieer $S_x=\sum_i{x_i}^p$ en $S_y=\sum_i{y_i}^q$,
dan is
$\sum_i\frac{{x_i}^p}{S_x}=1=\sum_i\frac{{y_i}^q}{S_y}$.
Gebruik de stelling van het meetkundig-rekenkundig gemiddelde, met $x=\frac{{x_i}^p}{\root p \of{S_x}}$, $y=\frac{{y_i}^q}{\root q \of{S_y}}$, $a=\frac1p$ en $b=\frac1q$ en sommeer over i:
$\sum_i\left(\frac{x_i}{\root p \of{S_x}}\cdot\frac{y_i}{\root q \of{S_y}}\right)\leq\sum_i\left(\frac1p\cdot\frac{{x_i}^p}{S_x}+\frac1q\cdot\frac{{y_i}^q}{S_y}\right)$.
Herschreven geeft dit
$\frac1{\root p \of{S_x}\root q \of{S_y}}\sum_ix_iy_i\leq\frac1p\sum_i\frac{{x_i}^p}{S_x}+\frac1q\sum_i\frac{{y_i}^q}{S_y}$.
Maar de rechterkant is gewoon gelijk aan $\frac1p+\frac1q=1$. Iets anders wat gelijk is aan 1 is
$\left(\sum_i\frac{{x_i}^p}{S_x}\right)^{1/p}\cdot\left(\sum_i\frac{{y_i}^q}{S_y}\right)^{1/q}=\frac1{\root p \of{S_x}\root q \of{S_y}}\left(\sum_i{x_i}^p\right)^{1/p}\cdot\left(\sum_i{y_i}^q\right)^{1/q}$,
dus nu heb je
$\frac1{\root p \of{S_x}\root q \of{S_y}}\sum_ix_iy_i\leq\frac1{\root p \of{S_x}\root q \of{S_y}}\left(\sum_i{x_i}^p\right)^{1/p}\cdot\left(\sum_i{y_i}^q\right)^{1/q}$,
ofwel
$\sum_ix_iy_i\leq\left(\sum_i{x_i}^p\right)^{1/p}\cdot\left(\sum_i{y_i}^q\right)^{1/q}$.
De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz voor de Rn is een speciaal geval van de ongelijkheid van Hölder (namelijk met p=2=q) en zegt:
$\left(\sum_ix_iy_i\right)^2\leq\left(\sum_i{x_i}^2\right)\cdot\left(\sum_i{y_i}^2\right)$.
Dit werkt voor alle rijtjes $x_i$ en $y_i$ van reële getallen (niet per se positieve). Aan de linkerkant staat het kwadraat van het inproduct van de vectoren x en y met als componenten de getallen uit $x_i$ en $y_i$. Aan de rechter kant staat het kwadraat van de norm van het product van x en y. Anders opgeschreven staat er dus
$\langle x,y \rangle ^2\leq \left(||x||\, ||y||\right)^2$.