Als p en q positieve reële getallen zijn met \(\frac1p+\frac1q=1\) en \(x_i\) en \(y_i\) rijtjes niet-negatieve reële getallen zijn geldt de ongelijkheid van Hölder, die zegt:
\(\sum_ix_iy_i\leq\left(\sum_i {x_i}^p\right)^\frac1p\cdot\left(\sum_i {y_i}^q\right)^\frac1q\).
Dit bewijs dat maakt gebruik van de (gewogen) ongelijkheid van het meetkundig-rekenkundig gemiddelde, die zegt dat als voor \(a,b>0\) geldt \(a+b=1\) en als \(x,y\geq 0\), dat
\(x^ay^b\leq ax+by\).
Definieer \(S_x=\sum_i{x_i}^p\) en \(S_y=\sum_i{y_i}^q\),
dan is
\(\sum_i\frac{{x_i}^p}{S_x}=1=\sum_i\frac{{y_i}^q}{S_y}\).
Gebruik de stelling van het meetkundig-rekenkundig gemiddelde, met \(x=\frac{{x_i}^p}{\root p \of{S_x}}\), \(y=\frac{{y_i}^q}{\root q \of{S_y}}\), \(a=\frac1p\) en \(b=\frac1q\) en sommeer over i:
\(\sum_i\left(\frac{x_i}{\root p \of{S_x}}\cdot\frac{y_i}{\root q \of{S_y}}\right)\leq\sum_i\left(\frac1p\cdot\frac{{x_i}^p}{S_x}+\frac1q\cdot\frac{{y_i}^q}{S_y}\right)\).
Herschreven geeft dit
\(\frac1{\root p \of{S_x}\root q \of{S_y}}\sum_ix_iy_i\leq\frac1p\sum_i\frac{{x_i}^p}{S_x}+\frac1q\sum_i\frac{{y_i}^q}{S_y}\).
Maar de rechterkant is gewoon gelijk aan \(\frac1p+\frac1q=1\). Iets anders wat gelijk is aan 1 is
\(\left(\sum_i\frac{{x_i}^p}{S_x}\right)^{1/p}\cdot\left(\sum_i\frac{{y_i}^q}{S_y}\right)^{1/q}=\frac1{\root p \of{S_x}\root q \of{S_y}}\left(\sum_i{x_i}^p\right)^{1/p}\cdot\left(\sum_i{y_i}^q\right)^{1/q}\),
dus nu heb je
\(\frac1{\root p \of{S_x}\root q \of{S_y}}\sum_ix_iy_i\leq\frac1{\root p \of{S_x}\root q \of{S_y}}\left(\sum_i{x_i}^p\right)^{1/p}\cdot\left(\sum_i{y_i}^q\right)^{1/q}\),
ofwel
\(\sum_ix_iy_i\leq\left(\sum_i{x_i}^p\right)^{1/p}\cdot\left(\sum_i{y_i}^q\right)^{1/q}\).
De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz voor de Rn is een speciaal geval van de ongelijkheid van Hölder (namelijk met p=2=q) en zegt:
\(\left(\sum_ix_iy_i\right)^2\leq\left(\sum_i{x_i}^2\right)\cdot\left(\sum_i{y_i}^2\right)\).
Dit werkt voor alle rijtjes \(x_i\) en \(y_i\) van reële getallen (niet per se positieve). Aan de linkerkant staat het kwadraat van het inproduct van de vectoren x en y met als componenten de getallen uit \(x_i\) en \(y_i\). Aan de rechter kant staat het kwadraat van de norm van het product van x en y. Anders opgeschreven staat er dus
\(\langle x,y \rangle ^2\leq \left(||x||\, ||y||\right)^2\).