De harmonische rij kun je doorzetten tot n. Definieer
$H(n)=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$.
$H(n)$ divergeert logaritmisch: $H(n)\approx\log(n)$ als n groot wordt. De vraag is waarom.
Nu is het zo dat de integraal $\int_1^{n}\frac{1}{x}dx$ benaderd kan worden door een Riemann-som.
Een ondersom:
En een bovensom:
De grafiek van $\frac{1}{x}$ daalt op het interval $[1,n]$, dus:
$\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}<\int_1^n\frac{1}{x}dx<\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}$. Werk je de integraal uit en trek je $H(n)$ van alle drie af, dan krijg je:
$\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}-H(n)<\log(n)-H(n)<\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-H(n)$.
$-\frac{1}{1}<\log(n)-H(n)<-\frac{1}{n}$. Vermenigvuldig alles met -1. De tekens klappen om:
$\frac{1}{n}<H(n)-\log(n)<1$.
Het verschil tussen de harmonische rij en de natuurlijke logaritme zit dus altijd tussen de 0 en de 1: De harmonische rij divergeert logaritmisch.