In 2007 was er een wiskundeopgave om te bewijzen dat voor alle gehele \(n\geq 2\) geldt \[n\sqrt[n]{n+1}< n+H_n\] waar \(H_n:=\frac11+\frac12+\ldots+\frac1n\) het \(n\)de harmonische getal is. Dit volgt uit de ongelijkheid van het rekenkundige en meetkundige gemiddelde. Die zegt dat voor niet-negatieve \(x_1,\ldots,x_n\) \[\sqrt[n]{x_1\cdot\ldots\cdot x_n}\leq\frac{x_1+\ldots+x_n}{n}\] met gelijkheid dan en slechts dan als \(x_1=\ldots=x_n\). Neem namelijk \(x_k=1+\frac1k\).
Wat me destijds opviel, was dat voor grote \(n\) het verschil de constante van Euler, \[\gamma=0,577\ldots\] leek te benaderen. In Haskell:
n = 1e6
linkerkant = n * (n+1)**(1/n)
rechterkant = (n+) $ sum $ map (1/) [1..n]
rechterkant - linkerkant
0.5771197301801294
Maar ik had toen geen zin om er beter over na te denken. Nou in 2022 wel.
Aangezien \(H_n=\log n+\gamma+\mathcal o(1)\) volstaat te bewijzen dat \[\lim_{n\to\infty}n\sqrt[n]{n+1}-n-\log n=0\] en dat volgt uit de machtreeks \[\exp(x)=1+x+\ldots\] met \(x=\log(n+1)/n\) want dan krijg je namelijk \[n\sqrt[n]{n+1}=n\left(1+\frac{\log(n+1)}n+\ldots\right)=n+\log(n+1)+\ldots\] Die \(+1\) maakt natuurlijk niet uit, want \[\log(n+1)-\log(n)=\log\left(1+\frac1n\right)\to\log(1)=0\] De restterm is trouwens af te schatten met een meetkundige reeks \[n\sum_{k=2}^\infty\frac1{k!}\left(\frac{\log(n+1)}n\right)^k\leq n\sum_{k=2}^\infty\left(\frac{\log(n+1)}n\right)^k=\frac{(\log(n+1))^2}{n-\log(n+1)}\to0\]