Voor \(n\geq 2\) kunnen we een kromme \(z:[0,2\pi]\to\mathbb{C}\), \(z(t):=ne^{it}-e^{int}\) definiëren. Het is het pad dat een punt op een cirkel met straal \(1\) aflegt als deze om een cirkel met straal \(n-1\) heen gerold wordt. In onderstaande voorbeelden laten we \(n=4\).
Met de formule van Euler kunnen we \(e^{int}=(\cos(t)+i\sin(t))^n\) uitschrijven. Zij \(z=x+iy\). Dan zijn \(x(t)\) en \(y(t)\) polynomen in \(\cos(t)\) and \(\sin(t)\).
\[\begin{align*} x(t) &= -\cos^4(t) + 6\cos^2(t)\sin^2(t) - \sin^4(t) + 4\cos(t) \\ y(t) &= -4\cos^3(t)\sin(t) + 4\cos(t)\sin^3(t) + 4\sin(t) \end{align*}\]
Door gebruik te maken van de identiteit \(\sin^2(t)=1-\cos^2(t)\) kunnen we de \(\sin\)s wegwerken bij \(x\). Dat werkt niet voor \(y\), omdat \(y\) een oneven functie is, maar we kunnen het wel doen voor \(y^2\). Als we \(\cos(t)\) afkorten tot c, dan vinden we twee functies, f en g, die alleen van c afhangen:
f(c) = -8*c^4 + 8*c^2 + 4*c - 1 g(c) = -64*c^8 + 128*c^6 + 64*c^5 - 80*c^4 - 96*c^3 + 32*c + 16
De resultant van twee polynomen is gedefinieerd als de determinant van een zekere matrix waar hun coëfficiënten in zitten. De resultant is nul dan en slechts dan als de polynomen een gemeenschappelijk nulpunt hebben. Als \(x\) en \(y\) nou reële getallen aanduiden, dan is de bewering \[\text{Res}_c(x-f(c),y^2-g(c))=0\] waar dan en slechts dan als er een \(c\) is, zodat \(x=f(c)\) en \(y^2=g(c)\). Het uitrekenen van de resultant geeft daarom een impliciete vergelijking voor de epicycloïde: \[\begin{array}{c}256x^8 + 16384x^6y^2 + 393216x^4y^4 + 4194304x^2y^6 + 16777216y^8 \\ - 5120x^6 - 245760x^4y^2 - 3932160x^2y^4 - 20971520y^6 - 2560x^4 \\ - 81920x^2y^2 - 655360y^4 + 131072x^3 - 6291456xy^2 - 46080x^2 \\ - 737280y^2 - 864000 = 0\end{array}\]
Met SageMath:
n = 4; var('c','s','x','y'); assume(c,"real"); assume(s,"real"); z = n*(c + I*s) - (c + I*s)^n; f = expand(real(z)); g = expand(imag(z)^2); dict = {s^i : (1 - c^2)^(i/2) for i in range(2,g.degree(s)+1,2)}; f = expand(f.subs(dict)); g = expand(g.subs(dict)); expand((x - f).resultant(y^2 - g,c))
De multibrotverzameling is gedefinieerd als de verzameling van alle complexe getallen \(c\) zodanig dat \(P_c^k(0)\) begrensd blijft, waar \(P_c(z)=z^n+c\). Het bevat een epicycloïde rond \(0\).
De cusp op de positieve reële as zit bij de grootste \(c\) zodat \(P_c^k(0)\) convergeert. Door een spinnenwebdiagram te tekenen, zien we dat de lijn \(y=x\) de grafiek van \(P_c\) moet raken.
Uit \(P_c'(x)=1\) volgt \(nx^{n-1}=1\), en uit \(P_c(x)=x\) volgt \(x^n+c=x\). We vinden dus
\[x=\left(\frac1n\right)^\frac1{n-1}\text{ en vervolgens }c=x-x^n=\left(\frac1n\right)^\frac1{n-1}-\left(\frac1n\right)^\frac n{n-1}\]
Wat waarden:
\[\begin{align*}\frac12-\left(\frac12\right)^2 &= 0.25 \\ \sqrt[3]{\frac14}-\sqrt[3]{\left(\frac14\right)^4} &= 0.47247\dots \\ \sqrt[9999]{\frac1{10000}}-\sqrt[9999]{\left(\frac1{10000}\right)^{10000}} &= 0.998979\dots\end{align*}\]